Literal translation (with online interpreter):
"We to know we do not know and we do not remember"

I asked a professional translator and she said:
"We cannot know and we do not remember"

My question:
What is the meaning of the word "знать"?
Does "знать не" mean "cannot"?
Мы не знаем = we do not know
Мы знать не знаем = we cannot know

This is a more or less productive form - "infinitive + not + personal form" used to express minimal-to-nothing activity defined by the verb.
cf: я тебя знать не знаю (и знать не хочу)! - I do not know you at all (and do not even want to know)!
or: он и спать не спит, и есть не ест (толком). - He neither eats nor sleeps (normally).
or: Пить он не пьет, но курит много (но колется :)). - He does not drink at all, but smokes too much.

Anybody else to add anything?
eh?
;))

Артикль тут не нужен ни в коем случае.

ню-ню...

:-D

Носители!!! Ау!!!

:))

Я почти носитель (если можно так сказать), в языковой среде уже много лет.

neither do we know or remember ??
we dont know and dont want to ???
we dont know and dont want to remember ??
we neither remember or know ??

i really think it is "neither do we know or remember"

With all due respect, Murdoch.

Also, running the risk of being repetitive, I think when translating, we need to preserve the style of the original. To me, the Russian original is neutral, whereas any suggestion involving the word "sh$@t" is offensive in the English language, at least to a lot of people. So, I suggest sticking to the original tone of the comment.

On a grammar note, it's "I don't give A $@%&", but "You don't know $@%&".

Пусть не будет у вас неопределенного артикля перед shit!
(Свежее новогоднее пожелание :D)

Кто никогда не путается с артиклями, пусть первый кинет в себя камнем!
:))))))))))

Но!

To gogolesque:
neither do we know or remember
OR
neither do we know Nor remember
???

To D-50:
Ага, теперь давайте будем low-level енглисх использовать в качестве грамматического базиса. Далеко уйдем!
Ah' dunno bro... Ah' dunno...
:-D

To ms801
> To me, the Russian original is neutral
Отнюдь. Форма разговорная, поэтому значительно зависит от контекста, в т.ч. внелингвистического.

Вообще, основной вопрос аскера был о том, что это за штука, если слово "знать" переводится как "cannot".
Отсюда и основной упор не на стилистику и эмоциональную нагрузку, а на грамматическую форму, которую, очевидно, в учебниках русского для иностранцев не прописывают.

Резюме:
Исходная фраза "Мы знать не знаем и не помним" вообще, если не режет слух, то звучит несбалансированно.
cf. "Мы не знаем и не помним"
or "Мы знать не знаем и помнить не помним"
or "Мы ни знать не знаем, ни помнить не помним"

аминь.