2) Родительный падеж — нет кого?, чего?

3) Дательный падеж — дать кому?, чему?, определяет конечную точку действия.

4) Винительный падеж — вижу кого?, что?, обозначает непосредственный объект действия;

5) Творительный падеж — творю кем?, чем?, определяет инструмент, некоторые виды временной принадлежности (ночью);

6) Предложный падеж — думать о ком, о чём

7) Звательный падеж. От церковно-славянского звательного падежа нам осталось только слово «Боже!» (ну и Отче, наставниче Амвросие, Пантелеимоне и т.п. для тех, кто читает молитвословия). В современном русском языке этот падеж возникает, когда мы обращаемся: Мам, Пап, Дядь, Тетя Ань, где образуется путем «обрезания» окончания или специально добавленным окончанием: Ванюш (Танюш), выходи!

8) Местный падеж. Обычно употребляется с предлогами «При», «В» и «На». Характеризующий вопрос: Где? При чем? На чем? — В лесу (не в лесе), На шкафу (не на шкафе), При полку (не при полке) — а как же на Святой Руси, на Украине?

9) Разделительный падеж. Образуется как производное от родительного падежа: Налить в стакан кефира (Выпить кефиру), Лежит головка чеснока (съесть чесноку) Сделать глоток чая (напиться чаю), Задать жарУ (не жарА), Прибавить ходУ (не ходА), Молодой человек, огонькУ не найдется?

10) Счетный падеж — встречается в словосочетаниях с числительным: Два часА (не прошло и чАса), Сделать три шагА (не шАга).

11) Отложительный падеж — определяет исходную точку передвижения: Из лесУ, Из домУ. Существительное становится безударным: я Из лесу вышел; был сильный мороз.

12) Лишительный падеж — используется исключительно с глаголами отрицания: не хочу знать правды (не правду), не может иметь права (не право).

13) Количественно-отделительный падеж — похож на родительный падеж, но имеет отличия: чашка чаю (вместо чая), задать жару (вместо жарА), прибавить ходу (вместо прибавить ход).

14) Ждательный падеж — Он же родительно-винительный падеж: Ждать (кого? чего?) письма (не письмо), Ждать (кого? что?) маму (не мамы), Ждать у моря погоды (не погоду).

15) Превратительный (он же включительный) падеж. Производное от винительного падежа (в кого? во что?). Применяется исключительно в оборотах речи на подобие: Пойти в летчики, Баллотироваться в депутаты, Взять в жены, Годиться в сыновья.

Не все в этом списке 15 падежей бесспорно. Однако "сколько угодно" падежей придумать, не ломая язык, нельзя - их столько, сколько есть в языке.

Самый употребительный из "нетрадиционных" падежей - местный (локатив), его мы слушим и употребляем ежедневно (в лесу, в порту, во рту, на борту, в/на шкафу, в/на носу, по столу, по полу, на берегу, в степи...)

Звательный падеж - фактически 2 разных падежа, это старый звательный (Боже, отче, старче, господи) и новый звательный (мам, пап, Тань, Жень).

А вообще общепринятого мнения о количестве падежей в русском языке нет, разные исследователи называют разные цифры, так как используют разные критерии выделения падежа.

Вот статья В.А.Успенского "К определению падежа по А. Н. Колмогорову", см. параграф "IV. Какие есть падежи в русском языке?"
http://www.kolmogorov.info/uspensky-k_opredeleniyu_padezha_po_kolmogorovu.html

А вот тут ("Морфологический стандарт Национального корпуса русского языка") тоже свой список падежей:
Падеж:
nom — именительный падеж (голова, сын, степь, сани, который)
gen — родительный падеж (головы, сына, степи, саней, которого)
dat — дательный падеж (голове, сыну, степи, саням, которому)
dat2 — дистрибутивный дательный ([по] многу, нескольку, стольку)
acc — винительный падеж (голову, сына, степь, сани, который/которого)
ins — творительный падеж (головой, сыном, степью, санями, которым)
loc — предложный падеж ([о] голове, сыне, степи, санях, котором)
gen2 — второй родительный падеж (чашка чаю)
acc2 — второй винительный падеж (постричься в монахи; по два человека)
loc2 — второй предложный падеж (в лесу, на оси́)
voc — звательная форма (Господи, Серёж, ребят)
adnum — счётная форма (два часа́, три шара́)
http://www.ruscorpora.ru/corpora-morph.html

Наконец, цитата из вопроса на грамота.ру:
"Как вам фраза из учебника японского: "...при переводе на русский лучше использовать падеж ремантического подлежащего". Далее приводится таблица 17 падежей с примерами и вопросами. И внизу оговорка, что таблица не полная, т.к. в современном русском языке 32 падежа. Этот учебник издан 1981 году, тогда существовал контроль печатной продукции."
http://new.gramota.ru/spravka/buro/search-answer?s=246377

В японском языке, точно не помню, кажется, 10 падежей, но так как окончания как таковые отсутствуют, эти падежи просто определяют используемые в том или ином случае послелоги. В процитированном учебнике, видимо, получился этакий гибрид по аналогии с нихонским)) Там тоже есть "именительный рематический".

Про японцев уже вспомнили, а вот про математиков, цитата из комментариев в ЖЖ:
"Детально с этой проблемой столкнулись в середине 50-х годов, когда стали пытаться построить алгоритм математического анализа языка (математическая лингвистика). Это проблемой занимался А.Колмогоров. Вот тогда и столкнулись с невозможностью построить программу только с использованием 6 школьных падежей.
По этому поводу в МГУ была целая дискуссия.
Успенский В. А «К определению падежа по А. Н. Колмогорову»
(1957, Опубликовано в продолжающемся сборнике: Бюллетень Объединения по проблемам машинного перевода. — № 5. — М.: [I МГПИИЯ], 1957. — С. 11 – 18.)"
http://vsegda-tvoj.livejournal.com/10146140.html

Erdferkel
Ну так "неполный" падеж, не везде работает.
Тем труднее его изучать и правильно употреблять иностранцам... и математикам :), см. выше

А вот пример омонимов, которые отличаются формой локатива (в других падежах разницы вроде бы нет): "в мире" и "в миру" (помните, что до реформы 1918 года они писались по-разному?)

Toropat
*В обоих случаях слово "час" стоит в родительном падеже множественного числа, но окончания разные.
Неужели и для этого случая надо придумать два разных падежа? *

Род. падеж мн. числа от слова "час" - "часов".
Разные окончания означают разный падеж. Если бы этого падежа не было, мы говорили бы 2 часов, 3 часов, 4 часов.
Их не надо *придумывать*, эти падежи, они объективно есть в языке, независимо от вашего желания. "Придумали" только название.