defendants should be allowed to file affidavit evidence - ответчикам следует предоставить право \ дать возможность представить доказательства в виде (подачи) аффидевита (= "письменных показаний под присягой")

evidence in opposition - доказательства \ улики в подкрепление свой правовой позиции \ в опровержение правовой позиции противной стороны
(если дело уголовное, то противная сторона - это обвинитель, обычно в лице прокуратуры, если же спор гражданско-правовой, то противная сторона для них - это истец)

substantive argument adjourned - в слушаниях был объявлена пауза \ перерыв, по окончании перерыва возобновится слушание дела по существу (substantive argument)

"по существу" - это то, что еще иногда называется on the merits (of the case) - в противопоставление слушаниям по процессуальным и организационным вопросам