(Я) приветствую(вас) в мини-истории, что звучит крайне не по русски.

Если же "to" это предлог, указывающий на дательный падеж для "the mini story", то вообще ничего путного не получается
help :)

"приглашаем прочесть наш маленький рассказ" - прям очень здорово звучит

ВСЕМ Спасибо!

Welcome to the mini story for Day of the Dead.
In the mini story I will do 3 things.

однако ощущение неестественности их английского не отпускает:

это the в строчке выше (перед mini) все равно сомнительное.

также сомнительны как минимум три элемента во второй (In the mini story I will do 3 things.):
снова the -- нейтив бы там написал this
немного странное do -- слишком общо; нейтив бы использовал более выразительный глагол (unless там ниже идет перечисление в деталях что он там do, давайте дальше контекст)
и цифра 3 -- она была бы написана словом three

к чему я это ... к тому, что ваш источник английского -- не самый надежный учебный материал. надо быть начеку.

зовут A.J. Hoge
http://www.youtube.com/user/ajhoge

Он, типа, разработал авторскую методику и выпустил 2 аудио курса около 8 лет назад, после чего у него образовался некий элитный клуб почитателей, которым он за 10 баксов 4раза в месяц рассказывает сказочку.

вот его начало:
Welcome to the mini story for Day of the Dead. In the mini story I will do 3 things. I will make a statement. For example, “I arrived in Guatemala.” When you hear a statement, a sentence, you just say, “Ah,” or, “Oh.” You need to say that. Show that you understand this is not a question. A statement is not a question, so when you hear a statement say, “Ah.” For example, “I arrive in Guatemala.” “Ah.”
The second thing I will do is ask a question you know the answer to. For example, “Where do I arrive?” I will stop. You say the answer. You must say the answer to every question. I say, “I arrive in Guatemala. Where did I arrive?” You say, “Guatemala.” Easy.
And No. 3, I might ask a question you don’t know the answer to. If you don’t know the answer just guess. Say any answer, but you must answer every question. Use your pause button if necessary. Let’s begin. Here we go.

Whether he's right to say "forget all about grammar and learning individual words, just learn phrases" is another matter, of course. If you just want to learn a language for casual use it's probably OK, but if you're planning to become a professional translator, you need a good knowledge of grammar.

There are exceptions to this, such as when a number has been assigned to something, in which case figures are normally used:
* The No. 4* bus
* Episode 7 of the TV series.
* Beethoven's Symphony No. 5

Note that Americans use '#' for 'number' instead of 'No.' -- so this would be '#4' in the US.

к сожалению, я не нашел переводов его уроков, и это создает проблемы при их адаптации для моей программы изучения языка :-(

The reason you can't find Russian translations of the lessons may be due to copyright issues. If it isn't, I'm sure any of the English-Russian translators here will be happy to translate them for you for a reasonable fee.