For the first year, the annual retainers as per the List of Services and Fees will be applied pro-rata temporis for the first day of the corresponding quarter starting with the signing of this Agreement and ending on December 31 of the same year.

Мой вариант: рассчитываются пропорционально истекшему времени с первого дня квартала, в котором произошло подписание настоящего Договора.

Я, к сожалению, не уверена, правильно ли я поняла. т.е. Если договор был подписан, скажем, 1 августа, а квартал начинается 1 июля, то все равно считается стоимость за целый квартал или фактически истекшее время квартала тоже учитывается?

Еще есть предложение в приложении того же договора (я не на 100% уверена, что оно относится к тем же видам вознаграждения)
For the first year, this fee is payable at the date of signature of the … Agreements and shall be determined on a pro rata-basis calculated as if the relationship between the Company and the Agent started as of the first day of the relevant quarter.
… и определяется на пропорциональной основе, как если бы отношения между Компанией и Агентом начались с первого дня соответствующего квартала.

Я все-таки склонна думать, что в обоих предложениях речь идет об одном и том же, и сумма вознаграждения рассчитывается с начала квартала, независимо от конкретной даты заключения договоров. Буду рада, если кто-то поможет подправить перевод или подтвердить его правильность

determined on a pro rata-basis calculated as if the relationship between the Company and the Agent started as of the first day - грамотно

applied pro-rata temporis for the first day of - галиматья